Question

一道数列极限题

Answer 1

记f(x)=a/2+x^2/2，则递推关系式可写为xn=f(x(n--1))，n=2,3,4，....。
记x*=1--根号(1--a)>0，即x*是方程x=a/2+x^2/2的根，也是x=f(x)的根。
易知4(1--a)<=4--4a+a^2，即2根号(1--a)<=2--a，或
a/2<=1--根号(1--a)=x*。
很显然，f'(x)=x>0，在x>0时，因此f(x)在【0，正无穷）上是递增的。
由于x1=a/2<=x*，于是x2=f(x1)<=f(x*)=x*，因此可以用归纳法证明
xn<=x*，即{xn}有上界。
又显然x2=a/2+x1^2/2>=a/2=x1，于是
x3=f(x2)>=f(x1)=x2，再用归纳法可知{xn}递增。
由单调有界原理，limxn=c存在，
在递推关系中令n趋于无穷得c=a/2+c^2/2，
解得c=x*或c=1+根号(1--a)。
注意到xn<=x*，因此极限<=x*，故
c=x*=1--根号(1--a)=lim xn。

Answer 2

显然xn有界，为1. 设极限为y, y = a/2+ y^2/2. 求出y, y>0. 下证明y是极限，|xn-y|<=|x1-y|/2^n.即得.

Answer 3

yeah!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
答：
4(1--a)<=4--4a+a^2，即2根号(1--a)<=2--a，或
a/2<=1--根号(1--a)=x*。
很显然，f'(x)=x>0，在x>0时，因此f(x)在【0，正无穷）上是递增的。
由于x1=a/2<=x*，于是x2=f(x1)<=f(x*)=x*，因此可以用归纳法证明
xn<=x*，即{xn}有上界。
又显然x2=a/2+x1^2/2>=a/2=x1，于是
x3=f(x2)>=f(x1)=x2，再用归纳法可知{xn}递增。
由单调有界原理，limxn=c存在，
在递推关系中令n趋于无穷得c=a/2+c^2/2，
解得c=x*或c=1+根号(1--a)。
注意到xn<=x*，因此极限<=x*，故
c=x*=1--根号(1--a)=lim xn。