Question

高中数学必修一，一道题求讲解，快一点！！

求使函数y=(x^2+ax-2)/(x^2-x+1)的值域为（-∞，2）的a的取值范围。

Answer 1

我简写了，因为y=x方+ax-2比上x方-x+1的值域为负无穷到2的开区间，也就是说y小于2.
所以另y=上式小于2，解此不等式
分子比分母小于2，将2移项至左边，得分子比分母再-2小于0
然后通分，将2变成2倍的x方-x+1比上x方-x+1，变成-x方+（a+2）x-4比上x方-x+1小于0
一个分式小于0等价于分子分母异号，分母中没有系数，所以先验证分母的符号，计算“得儿塔”（好吧我没找到怎么打）应该是b方-4ac=1方-4=-3小于0此二次函数也就是抛物线开口向上且得儿塔小于0可知此二次函数恒大于0成立，因为分母恒大于0而整个分式恒小于0，为了满足不等式成立，必须使分子恒小于0，也就是-x方+（a+2）x-4恒小于0，此抛物线开口向下，若想满足此函数小于0恒成立只需另得儿塔小于0即与x轴无交点即可。
所以得儿塔=（a+2）方-16小于0即可即a方+4a-12小于0用十字相乘法可知两根为-6和2
所以最终解为a属于区间（-6，2）

Answer 2

显然函数的定义域为R，因为函数的值域为（-∞，2），即(x^2+ax-2)/(x^2-x+1)<2对x∈R恒成立，所以x^2-(a+2)x+4>0对x∈R恒成立，因此判别式(a+2)^2-16<0，即a^2+4a-12<0，所以
-6<a<2

追问

答案也这么说，但我不明白为什么x^2-(a+2)x+4>0对x∈R恒成立，△就小于0？

追答

x^2-(a+2)x+4>0：抛物线开口朝上，还要对于x∈R都大于0，只能是抛物线在x轴的上方，即与x轴无交点，因此△小于0

Answer 3

或者这样x^2-(a+2)x+4>0的时候配方，得到[x-(2+a)/2]^2-(a^2+4a+4)/4+4>0,然后-(a^2+4a+4)/4+4>0解出-6<a<2

Answer 4

a＜2

Answer 5

uhp