Question

如图，已知抛物线y＝ax 2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧

已知，如图，抛物线y＝ax 2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图： http://wenku.baidu.com/view/f9a058d0b9f3f90f76c61ba0.html 第三题图

Answer 1

解：（1）∵B（1，0），

∴B=1；

∵OC=3BO，

∴C（0，-3）；

∵y=ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，-3），

∴c=-3  a+3a+c=0 ；

解这个方程组，得  a=3/4  c=-3

∴抛物线的解析式为： y=（3/4）x^2+9/4x-3

（2）过点D作DM‖y轴分别交线段AC和x轴于点M、N

在 y=（3/4）x的平方+9/4x-3 中，令y=0，

得方程 （3/4）x的平方+9/4x-3=0

解这个方程，得x1=-4，x2=1

∴A（-4，0）

设直线AC的解析式为y=kx+b

∴ 0=-4K+b     b=-3

解这个方程组，得  k=-3/4  b=-3 

∴AC的解析式为： y=-3/4x-3 

∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC

= 15/2+1/2DM(AN+CN)

= 15/2+2Dm

设D（x，（3/4）x^2+9/4x-3 ）M（x，-3/4x-3） 

DM=-3/4x-3-（3/4）x的平方+9/4x-3=-3/4（x+2）^2+3，

 当x=-2时，DM有最大值3

此时四边形ABCD面积有最大值 27/2 

 

3)若以A、P、E、C为顶点的四边形为平行四边形： 
(1)当点P在第三象限时(如图),且AE∥PC: 
由对称性可知,点P1为(-3,-3); 
(2)当点P在第二象限时(如图),且AC∥PE: 
作P2M垂直X轴于点M,易知Rt⊿P2MA≌RtΔCOE2(HL),则P2M=CO=3; 
把Y=3代入Y=0.75x^2+2.25x-3,X=(-3±√41)/2.所以,此时: 
点P2为([-3-√41]/2,3); 
(3)当点P在第一象限时(如图),且AC∥PE: 
作P3N垂直X轴于N,易知Rr⊿P3NE3≌Rt⊿COA,P3N=CO=3;由(2)可知，此时点P3为(-3+√41]/2,3).