Question

多项式问题

求所有实系数多项式P(x),使所有实数x有P(x^2)+x(3P(x)+P(-x))=P^2(x)+2x^2
要详细解答过程

Answer 1

解：P(x)是实系数多项式，设P(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+......+a1x+a0
则P(x^2)=an(x^2)^n+a(n-1)(x^2)^(n-1)+.......+a1x^2+a0
P(-x)=an(-x)^n+a(n-1)(-x)^(n-1)+.......+a1(-x)+a0
P^2(x)=[anx^n+a(n-1)x^(n-1)+......+a1x+a0]^2
因为对所有的x有P(x^2)+x(3P(x)+P(-x))=P^2(x)+2x^2
即[an(x^2)^n+a(n-1)(x^2)^(n-1)+.......+a1x^2+a0]+x{3[anx^n+a(n-1)x^(n-1)+......+a1x+a0]
+[an(-x)^n+a(n-1)(-x)^(n-1)+.......+a1(-x)+a0]}
=[anx^n+a(n-1)x^(n-1)+......+a1x+a0]^2 +2x^2
等式右边有x^2，则这个等式成立，至少P(x)是一次多项式
(1) 设是一次多项式，则P(x)=a1x+a0
即(a1x^2+a0)+x[3(a1x+a0)+(-a1x+a0)]=(a1x+a0)^2+2x^2
由多项式相等的定义，及对应项系数相等，
解得：a0,a1有下面几组解
0,2；0,1；1,2
...........
依次下去

Answer 2

隐约记得做过这道题~可是时间太久了，不会了

Answer 3

0,2；0,1；1,2