Question

数学压轴题

7．在平面直角坐标系中，A（－4，0），B（0，2），直线x＝2与直线AB交于点C，与x轴交于点D，抛物线经过点A，且以C为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上位于A、C两点间的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值；
A
B
C
O
x
y
D
x＝2
（3）点Q为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接QA、QC，设△QAC的面积为S，当S＝2时，相应的Q点有几个？当S取何值时，相应的Q点有且只有1个？

希望数学达人能给出详细的解答，谢谢

Answer 1

（1）直线AB:y=1/2x+2，当x=2时，y=3，所以C（2，3）。
设顶点式y=a（x-2）²+3，代入A（-4,0），解得a=-1/12。
所以y=-1/12(x-2）²+3=-1/12x²+1/3x+8/3。
（2）设点P（x，-1/12x²+1/3x+8/3）
∴S=6*3/2-3*(x+4)/2-6*(3+1/12x²-1/3x-8/3)/2
自己化简，最后用二次函数的最值做
（3）①根据二次函数的轴对称性，另一交点为（8，0）
设Q（a，-1/12a²+1/3a+8/3）
当-4＜a＜2时同上S，将S=2代入求解，在范围内求得。
当2<a<8时，
S=（a+4+a-2）*3/2-(a-2)*（2+1/12a²-1/3a-8/3）/2-(a+4)*(-1/12a²+1/3a+8/3)/2
将S=2代入求解，在范围内求得
②仍在两范围内求得最值，此时有且只有一点，记得考虑范围

Answer 2

：(1)设双曲线的解析式为y=k/x
过B作BD垂直于x轴交于一点D
因为A点坐标为(-2,0)，B点坐标为(2,n)
所以AD=OA+AD=2+2=4
又因为三角形AOB的面积等于=4
所以BD=2
因为双曲线经过点B(2,2)
所以OD*BD=2*2=4
所以双曲线的函数解析式为y=4/x
设直线AB的解析式为y=kx+b
-2k+b=0
2k+b=2
解得k=1/2,b=1
所以直线AB的解析式为y=1/2x+1
(2)因为直线AB经过与y轴相交的C点
所以y=1/2*0+1=1
即OC=1
所以S三角形OCB=S三角形ABD-S三角形AOC-S三角形OBD=4-1/2*2*1-1/2*4=4-1-2=1

Answer 3

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