Question

概率论与数理统计中的一道题目，谁来教教我吧。

概率论与数理统计中的一个公式，不理解，请指教一下

f（x，y）= る平方*F（x，y）/るxるy

（书上的那个符号打不出，用る代替）

例题：F（x，y）=派平方分之*（2分之派+arctanx）*（2分之派+arctan2y） 求，概率密度。麻烦过程告知一下。还有，这个公式什么意思，怎样去用这个公式。谢谢了。

Answer 1

您好！不知道您用的是什么教材，不过还是可以给你解答的。
首先，这个公式是解释的二元概率分布函数与其密度函数的关系，二元分布函数F可导的时候，它对两个随机变元x,y的混合二阶导数（你写的那个）就是这个分布的密度函数。那个公式你可以读作：
小f x y 等于 偏平方大F x y 偏 x 偏 y
注意那个符号是Partial Differenciate偏微分的意思。
现在来解题：
F（x，y）=派平方分之1*（2分之派+arctanx）*（2分之派+arctan2y）
对x求偏导得
るF（x，y）/るx = 派平方分之1*（2分之派+arctan2y）*（1＋x平方）分之1
再对y求偏导得
る平方*F（x，y）/るxるy = 派平方分之1*（1＋x平方）分之1 * （1＋4y平方）分之2
这个就是二维分布密度 f(x,y) 了。
注意这个题目里，随机变量X和Y是独立的，他们都服从Cauchy（柯西）分布，密度函数分别为
f(x) = 派分之1*（1＋x平方）分之1 （标准柯西分布）
f(y) = 派分之1*（1＋4y平方）分之2
两者相乘就得到他们的联合概率密度了。
这是一道简单的题目，当两个随机变量不独立时就会复杂一些。在你计算完成之后，一定要验证f(x,y)的积分是不是等于1，或者F(x,y)的正无穷方向极限是不是等于1。
祝学习顺利！

瑞典 Dalarna 大学统计系 07级 Master