Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0.又f（1）=-2.

（1）判断f（x）的奇偶性。
（2）求f（3）在区间[-3，3]上的最大值。
（3）解关于x的不等式f（ax^2）-2f(x)＜f(ax)+4

Answer 1

解：
（1）
令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0
又令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),对任意的x都恒成立
所以f(x)为奇函数
（2）
设x1,x2∈R,且x1>x2，则x1-x2>0
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)
又因为当x＞0，f（x）＜0
所以f(x1-x2)<0,即f(x1)-f(x2)<0
因而f(x)在R上为单调递减函数
所以求f(x)在区间[-3，3]上的最大值为f(-3)
又因为f（1）=-2且f(x)为奇函数
所以f(-1)=-f(1)=2,f(-2)=4
同理可以求得f(-3)=6
（3）
由（1）、（2）可得：
f(ax^2)-2f(x)=f(ax^2-2x)，f(ax)+4=f(ax-2)
所以解不等式f（ax^2）-2f(x)＜f(ax)+4，即f(ax^2-2x)<f(ax-2)
根据f(x)的单调性，有：ax^2-2x>ax-2，即(ax-2)(x-1)>0
所以
当a=0时，x<1
当a<>0时，若0<a<=2,则x>2/a
若a>2,则x>1
若a<0,则2/a<x<1

Answer 2

令x，y均等于0，f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0
令y=-x，f（0）=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f（-x），即函数为奇函数
令x<0,则-x>0,f(-x)=-f（x）＜0,所以f（x）>0,[-3，3]上的最大值在-3处取得，
f（3）=f（1）+f（2）=3f(1)=-6,最大值f（-3）=-f（3）=6
f（ax^2）-2f(x)=f（ax^2）-f(x)-f(x)=f（ax^2-2x）
f（2）=2f（1）=-4，f（-2）=4，f(ax)+4=f(ax)+f（-2）=f（ax-2）
即f（ax^2-2x）<f（ax-2）,f（ax^2-2x-ax+2）<0
ax^2-(2+a)x+2>0
(x-1)(ax-2)>0
a<0,(x-1)(-ax+2)<0,2/a<x<1
a>0,(x-1)(ax-2)>0,
0<a<2,1<x<2/a
a>=2,2/a<x<1