Question

请帮我解决一下这道不等式+克拉美定理..谢谢

1.当n≥3时 比较（n+1)的n次方 与 n的（n+1)次方的大小

2.若n边形 A1A2...An 的n-1条边A1A2,A2A3,...An-1An给定，一条边长A1An可任意选取.
证明：这种n边形的最大面积是当它内接于以A1An为直径的半圆时取得.

Answer 1

算术平均值大于几何平均值
[(1-1/n)n+1]/(n+1)>[(1-1/n)^n]^[1/(n+1)]
=> n/(n+1)>[(1-1/n)^n]^[1/(n+1)]
=> [n/(n-1)]^n]^[1/(n+1)]>(n+1)/n
=> [n/(n-1)]^n>[(n+1)/n]^(n+1)
当n=2,3,...,n
2^2>(3/2)^3>...>[n/(n-1)]^n>[(n+1)/n]^(n+1)
则[(n+1)/n]^(n+1)<4
=>[(n+1)/n]^n<4/(1+1/n)<4
当n=3时,4^3=64<81=3^4原不等式成立
当n>3时
因[(n+1)/n]^n<4<=n
则(n+1)^n<n^(n+1)

2\
显然凸多边形面积大于凹多边形面积
设A1A2A2A3...An-1An为面积最大的多边形(记为S)
因An-1An大小已知则
△A1An-1An面积当An-1An垂直于A1An-1时最大
则An-1An垂直于A1An-1
同理可知,A1A2垂直于A2An
由已证得当n=3时
当A1A2垂直于A2A3时S取得面积最大,A1A3此时为直径
当n=4时A1A2垂直于A2A4,A1A3垂直于A3A4
显然A1A2A2A3A4满足题意
当n>=5时
证明:已知四边形的四边,当四点共圆时面积最大
设任意四边形ABCD,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d
则a^2+d^2-2adcos角A=c^2+b^2-2cbcos角C=BD^2
=> a^2+d^2-c^2-b^2=2adcos角A-2cbcos角C
SABCD=2adsin角A+2bcsin角C(SABCD为四边形面积)
上两式平方后相加S^2ABCD+(a^2+d^2-c^2-b^2)^2
=4a^2d^2+4b^2c^2-8abcdcos角Acos角C+8abcdsin角Asin角C=4a^2d^2+4b^2c^2-8abcdcos(A+C)
因a,b,c,d为常量则当cos(A+C)=-1时SABCD最大
此时A+C=180°,也就是四点共圆
此时SABCD=根号下[4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-c^2-b^2)^2]=根号下(a+d+c-b)(a+d+b-c)(b+c+d-a)(a+b+c-d)
设多边形A1A2A2A3...An面积最大(n>=5),证明A1A2A2A3...An所有点共圆
先证明A1A2A2A3A4四点共圆
显然如A1A2A3A4不共圆,则不移动其它点,仅调整A2A3点,使调整后的A1A2'A3'A4四点共圆则新的多边形面积显然面积更大,所以A1A2A3A4四点共圆,同理A2A3A4A5四点共圆...,三角形仅有一个唯一的外接圆所以所有的点必然全部在一个圆上.而A1An-1垂直于An-1An故A1An为直径.原命题得证

Answer 2

(n+1)^n 和 n^(n+1)
两项均除以n^n
得
第一项:(n+1)^n/n^n=[(n+1)/n]^n=(1+1/n)^n
第二项: n^(n+1)/n^n=n

原来的两项变成了:
(1+1/n)^n和n的比较
lim(1+1/n)^n=e(n趋向无穷大)
lim(n)=∞>e(n趋向无穷大)
所以lim(n)-lim(1+1/n)^n>0
lim(n)-lim(1+1/n)^n>0
lim[n-(1+1/n)^n]>0
由函数极限值与函数值的同号性可知
n-(1+1/n)^n>0
所以:n>(1+1/n)^n

两边乘以n^n,得:
n^n*n>(1+1/n)^n*n^n
所以:
n^(n+1)>(n+1)^n

Answer 3

1.当n≥3时 比较（n+1)的n次方 与 n的（n+1)次方的大小
[(n+1)/n]^n=(1+1/n)^n<3≤n,
(n+1)^n<n^(n+1).

Answer 4

第一个用数学归纳.....