Question

已知:如图所示,等边三角形ABC的边长为2,点P和Q分别从A和C两点

已知:如图所示,等边三角形ABC的边长为2,点P和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同。点P沿线段AB运动，点Q沿BC的延长线运动，设PQ于直线AC相交于点D，做PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论。

Answer 1

作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，

又∵PE⊥AC于E，

∴∠CFQ=∠AEP=90°，

∵点P、Q做匀速运动且速度相同，

∴AP=CQ，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠ACB=∠FCQ=60°，

∴在△APE和△CQF中

   AP=CQ∠A=∠FCQ∠AEP=∠CFQ=90°     

，

∴△APE≌△CQF，

∴AE=FC，PE=QF且PE∥QF，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴DE=

1   

2   

EF，

∵EC+CF=EC+AE=AC，

∴DE=

1   

2   

AC，

又∵等边△ABC的边长为2，

∴DE=1，

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

Answer 2

答:当P和Q运动时，线段DE的长不改变,并且DE=(1/2)AB=1
证明:延长AC,由Q向AC的延长线作垂线,垂足为G
点P和Q分别做匀速运动且他们的速度相同,说明AP=CQ
在Rr△APE和Rt△CQG中
∵∠A=∠ACB=∠QCG=60°
∵AP=CQ(已知)
∴Rr△APE≌ Rt△CQG
∴AE=CG,PE=QG
在Rr△PED和Rt△DQG中
∵PE=QG(已证)
∠PDE=∠CDQ(对顶角)
∴Rr△PED≌ Rt△DQG
∴ DE=DG
∵ DC=DG-CG
∴DC=DE-AE
∴DE=AE+DC
∵AC=DE+AE+DC=2DE
∴DE=(1/2)AC=1

Answer 3

当P和Q运动时，线段DE的长不改变,并且DE=(1/2)AB=1
证明:延长AC,由Q向AC的延长线作垂线,垂足为G
点P和Q分别做匀速运动且他们的速度相同,说明AP=CQ
在Rr△APE和Rt△CQG中
∵∠A=∠ACB=∠QCG=60°
∵AP=CQ(已知)
∴Rr△APE≌ Rt△CQG
∴AE=CG,PE=QG
在Rr△PED和Rt△DQG中
∵PE=QG(已证)
∠PDE=∠CDQ(对顶角)
∴Rr△PED≌ Rt△DQG
∴ DE=DG
∵ DC=DG-CG
∴DC=DE-AE
∴DE=AE+DC
∵AC=DE+AE+DC=2DE
∴DE=(1/2)AC=1