Question

线性空间证明

R为K阶Hermite阵，A为M×K阶阵，其秩为K，列向量两两正交
S=ARA(H) (H)是上标，代表共轭转置

d1,d2...dk是S的非零特征值，对应的特征向量(单位正交化后)u1,u2...uk
证明：A的列向量张成的空间与u1,u2...uk张成的是同一线性空间
这个我证明不出来 请各位达人帮帮忙啊 在此谢谢了

Answer 1

不好意思，忙着别的事，现在才回复，不晚吧？若有不懂之处，直接hi我留言即可。
引理：A=【a1,...，ak】的秩和U=【u1,u2,。。。，uk】的秩都是k，此时
A和U的列向量张成的空间（在下面分别记为W1和W2）是同样的充要条件
是存在可逆阵Q，使得A=UQ。这个你自己很容易证明的。
先设R=D=diag(d1,d2,。。。,dk)，由条件R是非奇异的。
易知Sai=ARA(H)ai=AD(ei)=di*ai，1<=i<=k，因此
W1是由属于S的不等于0的特征值对应的特征向量张成的空间，
同样W2也是由属于S的不等于0的特征值对应的特征向量张成的空间，
因此W1=W2。
一般情况下，R是Hermite阵，故存在酉阵Q，使得
QRQ(H)=D，于是S=AQD(AQ)(H)，由引理，
W1和AQ的列向量张成的空间是同一个，
而由刚才的证明，AQ的列向量张成的空间=W2，因此
还是有W1=W2。证毕。

追问

谢谢你 你太厉害了 这个是阵列信号处理的MUSIC算法的理论基础 我找了半天证明都找不到

求加好友
顺便问下 你数学怎么学的啊 是大学老师还是数学专业的博士？

追答

数学专业的，对数学还是比较了解的，不过实用方面就差了。净学了一些理论，有理论方面的问题可以问我。我会尽量回答的。

Answer 2

不好意思，忙着别的事，现在才回复，不晚吧？若有不懂之处，直接hi我留言即可。
引理：a=【a1,...，ak】的秩和u=【u1,u2,。。。，uk】的秩都是k，此时
a和u的列向量张成的空间（在下面分别记为w1和w2）是同样的充要条件
是存在可逆阵q，使得a=uq。这个你自己很容易证明的。
先设r=d=diag(d1,d2,。。。,dk)，由条件r是非奇异的。
易知sai=ara(h)ai=ad(ei)=di*ai，1<=i<=k，因此
w1是由属于s的不等于0的特征值对应的特征向量张成的空间，
同样w2也是由属于s的不等于0的特征值对应的特征向量张成的空间，
因此w1=w2。
一般情况下，r是hermite阵，故存在酉阵q，使得
qrq(h)=d，于是s=aqd(aq)(h)，由引理，
w1和aq的列向量张成的空间是同一个，
而由刚才的证明，aq的列向量张成的空间=w2，因此
还是有w1=w2。证毕。

Answer 3

这个也太难了。