Question

高一数学平面向量的问题

给定两个长度为1的平面向量OA,和OB，他们夹角为120°，如图所示，点C在以点O为圆心的圆弧向量AB上变动，若向量OC=xOA+yOB，其中x,y∈R，则x+y的最大值是?

Answer 1

解答:
OC=xOA+yOB
OC²=（xOA+yOB）²

1=x²+y²+2xyOA.OB
1=x²+y²+2xy*1*1*cos120°
1=x²+y²+xy
1=(x+y)²-xy
因为 (x+y)²≥4xy
所以 -xy≥-(x+y)²/4
所以 1=(x+y)²-xy≥3(x+y)²/4
(x+y)²≤4/3
所以 x+y≤2√3/3
当且仅当x=y时等号成立
所以 x+y的最大值为2√3/3

追问

因为 (x+y)²≥4xy
所以 -xy≥-(x+y)²/4
怎么推出
1=(x+y)²-xy≥3(x+y)²/4
(x+y)²≤4/3

追答

原先的答案有误，没有考虑到C的位置
建立直角坐标系吧
B（1,0），A（-1/2,√3/2)
设C（cosM,sinM）M∈[0,2π/3]
则 (cosM,sinM)=x(-1/2,√3/2)+y(1,0)
∴ (-1/2)x+y=cosM ①
(√3/2)x=sinM ②
∴ ①+②*√3
则 x+y
=cosM+√3sinM
=2sin(M+π/6)
∴ M=π/3时，
x+y有最大值2

Answer 2

OC2=(XOA+yOB)2
1=X2+y2+XyOAOBCOS120
1=X2+y2+Xy
1+xy=(x+y)2
x+y=根号1+xy
xy最大应该是x=y即xy=四分之一
所以x+y最大值为二分之根号五

Answer 3

建系就会简单很多