Question

已知数列{an}满足a1+3a2+(3^2)*a3+.....+3^(n-1)*an=n/3。求{n/an}的前n项和

n/an=n*3^n
之后怎么用 错位相减？

Answer 1

Sn=1*3+2*3^2+3*3^3+...+n*3^n
3Sn=1*3^2+2*3^3+3*3^4+...+n*3^(n+1)
Sn-3Sn=3+3^2+3^3+...+3^n-n*3^(n+1)
-2Sn=3(1-3^n)/(1-3)-n*3^(n+1)
Sn=(3/4)*(1-3^n)+(n/2)*3^(n+1)

Answer 2

设Sn'=原式
Sn-1'=比原式少一项 (n>1)
两式作减法得: 3^(n-1)*an =n/3 -(n-1)/3=1/3
所以an=1/ 3^n (n=1也适用)
所以 n/an = n*3^n
此数列是"差*比"数列,用错位相减法:即写出一列和sn=..., 再将此列和等式两边同乘3,错一位写.
两式作减法得出:sn- 3sn=(3+3²+3^3+3^4+...+3^n) -n*3^n+1 =....括号内是等比数列,可求和....
略.

Answer 3

n/an=n*3^n
约分：1/an=3^n
它的前n项和为An=3（3^n-1)/2 【等比数列前n项和：Sn=a1*(1－q^n)/(1－q)】
n的前n项和为Nn=n（n+1）/2
所以{n/an}的前n项和Sn=An*Nn=[ 3n（n+1）]/[4（3^n-1）]