Question

已知函数f(x)=丨1-1/x丨,(x>0) (1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时，求1/a+1/b的值

（2）是否存在实数a,b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域，值域都是[a,b]?若存在，请求出a,b的值，若不存在，请说明理由
（PS：第一小题我做出了，等于2。求第二小题的答案）

Answer 1

（2）
符合条件的a,b不存在
f(x)={1/x-1 ,(0<x≤1) 是分段函数
{1-1/x ,(x>1)
递减区间为(0,1],递增区间为[1,+∞)
f(x)min=f(1)=0,x>1时，0<f(x)<1
1º 当a<1≤b时，,1∈[a,b], f(1)=0不属于[a,b],不符合题意
2º 当a<b<1时，,f(x)在[a,b]上递减
若 f(x)的定义域，值域都是[a,b]
则并茄迅 f(a)=b,f(b)=a
∴1/a-1=b,且1/b-1=a
∴1-a=ab且1-b=ab
∴1-a=1-b==>a=b矛盾
3º当1≤a<b时，f(x)在[a,b]上递增
若 f(x)的定义域，值域都是[a,b]
则 f(a)=a,f(b)=b
∴1-1/a=a,且1-1/b=b
a-1=a²且b-1=b²
即方程x²-x+1=0有2个不小于1的纳运实数解
设两根为x1,x2 由韦达定理x1x2=1,
∴两根一个在(0,1),一个在(1,+∞)
不符合题意
综上所绝此述，符合条件的a,b不存在

Answer 2

2）依题，若存在，显然a,b是正数
且1∉[a,b](f(x)值域显然没有1这个数)
从而a,b都比1大或都比1小。
若b>a>1,则1-1/b>1-1/a>0,此时瞎岁f(x)单调递增
故有1-1/b=b,1-1/a=a 不存在这样的a和b
若0<a<告神兆b<1,则f(a)=1/a-1,f(b)=1/b-1
且f(a)>f(b)>0，f(x)单调递减
从袜租而有
1/a-1=b，1/b-1=a
两式相减
(b-a)/ab=b-a
ab=1或b-a=0
与0<a<b<1矛盾！
故不存在这样的a,b