Question

已知双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）与其渐进线的距离为（根号10）／5，过P作斜率为1/6的

直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点M，且PM是PA与PB的等比中项,求双曲线的渐近线方程

Answer 1

解：设双曲线的方程为：（X的方）/a的方-（Y的方）/b的方=1———（1），其渐近线的方程为：Y=（b/a）*X，Y=（-b/a）*X，即bX-aY=0，bX+aY=0，所以P（-2，，0）到渐近线的距离：（根号下10）/5=|b*（-2）+（-a）*0|/根号下（a的方+b的方），化简得：a的方=9*（b的方）———（2），直线PB的方程为：Y=（1/6）*（X+2）———（3），将方程（1）、（3）联立求解并运用韦达定理得：X1+X2=（4*a的方）/[36*（b的方）-a的方]，X1X2=（-4*a的方-36*a的方*b的方）/（36*b的方-a的方），Y1+Y2=（24*b的方）/（36*b的方-a的方），Y1Y2=（4*b的方-a的方*b的方）/（36*b的方-a的方）；在（3）中，令X=0，得Y=1/3，所以M点的坐标为（0，1/3），|PM|=根号下[2的方+（1/3）的方]=（根号下37）/3，设A、B两点的坐标分别为（X1，Y1）、（X2，Y2），向量PA*向量PB=（X1+2，Y1）*（X2+2，Y2）=X1X2+2（X1+X2）+Y1Y2+4，将以上（X1X2）、（X1+X2）、（Y1Y2）的值代入得：向量PA*向量PB=（148*b的方-37*a的方*b的方）/（36*b的方-a的方），又：向量PA*向量PB=|PA|*|PB|*cos0度=|PA|*|PB|，由PM是PA与PB的等比中项有：|PM|的方=|PA|*|PB|，即：37/9=（148*b的方-37*a的方*b的方）/（36*b的方-a的方），解之得：b=1/3，将b代入（2）得：a=1，所以双曲线的渐近线方程为：Y=（1/3）*X，Y=（-1/3）*X

Answer 2