Question

空间内已知三点坐标，怎么求出平面方程呢？ 代入ax+by+cz+d=0这个方程的话，三个点四个未知数

空间内已知三点坐标，怎么求出平面方程呢？
代入ax+by+cz+d=0这个方程的话，三个点四个未知数也解不出答案啊？

Answer 1

你可以把方程设为
x+ay+cz+d = 0
那么就是3个未知数了，代入3个点，解这个方程就可以。
但是一般不怎么做，这有点麻烦。
设3点A,B,C
计算向量AB和AC
那么法向量n = AB × AC 注意这里用向量积
得到n(ni,nj,nk)后，设方程为
ni * X + nj * Y + nk * Z = K
随便代入一个点的坐标得出K值后就可以得到平面方程。

追问

计算方法是明白了，但是想不明白的是，三点确定一个平面，那d的变化会使平面怎样变动呢？
两个向量的外积，在几何上怎么解释呢？
两个向量做外积，一定需要是同起点的两个向量吧？
(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2) 我写的这个外积式子对么？

追答

1.d的变化相当于把方程系数扩大，与平面没有关系
2.向量积的方向是与两个向量构成的平面垂直的方向，也就是共同法线的方向
3.我这里取的是AB,AC所以是相同起点的，其实这个没有必要，因为向量只表示大小和方向，在空间里面可以随意移动，和起点无关。
4.这个结果是正确的。

追问

Thank you~~~2.3.4都明白了，但是d的变化怎么会和平面无关呢？~我觉得d的变化是使得平面方向不变，朝着远离原点或靠近原点的方向变化了，也就是说平面重心离原点的距离变化了。但是这样一来，平面与原先的三个点不也就离开了么？~~~想不明白这个d啊~~
当三点坐标被确定的同时，这个d也就应该确定出来了吧，否则不能确定一个平面啊~那d能用a，b，c表示出来么？
抱歉能麻烦你再讲讲这个d么？

追答

1这个我的说法有点问题，d的变化确实让平面移动，我的意思是ax+by+cz+d=0这个方程代入三个点得到的解是(ak,bk,ck,dk)的形式（因为只有3个方程，有4个未知数），也就是这个解可以随意的放大或缩小，但并不对平面产生任何影响。

Answer 2

随便给个值(非零)就可以了，反正那个方程并不是只有一个，还可以乘一个倍数

Answer 3

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