Question

数学 证明下列命题

1 两个相邻奇数的平方差是8的倍数
2 3个连续的整数的平方和被3除余数为2
3 任意一个奇数的平方减1是，8的倍数

Answer 1

1)相邻两个奇数, 令2n+1, 2n+3
平方差为(2n+3)² - (2n+1)² = [(2n+3)+(2n+1)][(2n+3)-(2n+1)]
= (4n+4)*2=8(n+1) 一定能被8整除
2) 令三个连续整数分别为 n, n+1, n+2
则 平方和为
n²+(n+1)²+(n+2)²
= n²+n²+2n+1+n²+4n+4
= 3n²+6n+5
= 3(n²+2n+1)+2
被3除余2
3)令奇数2n+1
(2n+1)² -1 = 4n²+4n = 4n(n+1), n和n+1有一个必为偶数,所以
4n(n+1)能被8整除

Answer 2

1、
(2k+1)^2-(2k-1)^2=8k

2、
(k-1)^2+k^2+(k+1)^2=3k^2 + 2

3、
(2k+1)^2 -1=4k^2+4k=4k(k+1)， 而k和k+1中必然有一个是偶数

Answer 3

（2n+1)^2-(2n-1)^2=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1)=8n
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1=3n^2+2
(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=4n(n+1)
n和n+1总有一个偶数