Question

已知菱形ABCD，AB=4，∩B=60°，P.Q分别从BC出发，沿线段BC，CD以1cm/s速度向终点C.D运动，运动时间t秒。

1.连AP， AQPQ，试判断△APQ的形状，并说明理由。
2.连AC，与PD相交于K，当t=1秒时，求AK的长。

Answer 1

1.△APQ为等边三角形.
证明:连接AC.
∵AB=BC;∠B=60°.

∴⊿ABC为等边三角形,AB=AC;

同理可证:⊿ACD为等边三角形,∠B=∠ACQ=60°.
又BP=CQ.故⊿ABP≌⊿ACQ(SAS),AP=AQ;∠BAP=∠CAQ.
∴∠BAC=∠PAQ=60°,得⊿PAQ为等边三角形.

2.解:t=1秒时,BP=CQ=1,CP=3.
延长QP,交AB的延长线于M,则BM/CQ=BP/PC=1/3,BM=CQ/3=1/3.
∵AK/KC=AM/CQ=(4+1/3)/1=13/3.

∴AK/AC=13/16, AK=(13/16)AC=13/4(cm).

Answer 2

一：证明：连接AC，∵□ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA,∩B=60°,∴△ABC为等边三角形.
P,Q速度相同，∴BP=CQ，△ABP全等于△ACQ，所以AP=AQ,∩BAP=∩CAQ，三角形APQ是等腰三角形，，又因为在三角形ABC中∩BAC=60°,∩BAP+∩PAC=∩CAQ+∩PAC=∩PAQ=60°，有一个角=60°的等腰三角形是等边三角形。