Question

利用数学归纳法求证1+1/√2+1/√3+......+1/√n>√n

Answer 1

证明：n=2时，1+1/根2-根2 = (根2+1-2)/根2 > 0，所以1+1/根2 > 根2，上式成立
假设n=k时上式成立，即1+1/根号2+1/根号3+~~~~~~~+1/根号k > 根号k
当n=k+1时，
左 = 1+1/根号2+1/根号3+~~~~~~~+1/根号(k+1)
> 根号k + 1/根号(k+1) （依据上面假设）
= (根号(k(k+1))+1)/根号(k+1)
= 根号（(k^2+k+1+2*根号(k(k+1)))/(k+1)） （就是把整个式子挪到根号里面）
> 根号（(k^2+k+1+k)/(k+1)） （将2*根号(k(k+1))缩小为k）
= 根号（k+1）
所以上式仍成立
由归纳法知，对任意n≥2，上式成立