Question

设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)^2+(y-1)^2=1相切，则m+n的取值范围是？ 请把思路和过程写一下

答案是m+n≤2-2倍根号2或m+n≥2+2倍根号2

Answer 1

由直线和圆相切,知道圆心到直线的距离为半径1.所以|m+1+n+1-2|/根号下[(m+1)^2+(n+1)^2]=1.化简得;m+n+1=mn.而mn<=[(m+n)/2]^2.所以m+n+1<=[(m+n)/2]^2.以m+n为变量解得m+n≤2-2倍根号2或m+n≥2+2倍根号2.

Answer 2

由题可知，圆心为（1,1）圆半径为1。由点到直线距离公式有：
|(m+1)+(n+1)-2|/根号(m+1)^2+(n+1)^2=1
得：（m+n）^2=(m+1)^2+(n+1)^2化简后有mn=m+n+1
令m+n=t,那么当m=n时，即m=n=t/2时,mn取得最大值，所以mn<=t^2/4。
所以t^2-4t-4>=0
解不等式有t≤2-2倍根号2或t≥2+2倍根号2
即：m+n≤2-2倍根号2或m+n≥2+2倍根号2