Question

导数的一道高考题

fx= ㏑x（x-a）^2 ，a属于R。求实数a的取值范围，使对任意x属于（0,3e]恒有fx≤4e^2

Answer 1

解：（I）求导得f′（x）=2（x-a）lnx+(x-a)2x=（x-a）（2lnx+1-ax），
因为x=e是f（x）的极值点，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验，a=e或a=3e符合题意，
所以a=e，或a=3e
（II）①当0＜x≤1时，对于任意的实数a，恒有f（x）≤0＜4e2成立
②当1＜x≤3e时，，由题意，首先有f（3e）=（3e-a）2ln3e≤4e2，解得3e-
2eln3e≤a≤3e+
2eln3e
由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+(x-a)2x=（x-a）（2lnx+1-ax），
令h（x）=2lnx+1-ax，则h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-a3e≥2ln3e+1-3e+
2eln3e3e=2（ln3e-13
ln3e）＞0
又h（x）在（0，+∞）内单调递增，所以函数h（x）在在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为x0
则1＜x0＜3e，1＜x0＜a，从而，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，当x∈（x0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x0）内是增函数，在（x0，a）内是减函数，在（a，+∞）内是增函数
所以要使得对任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e2成立只要有f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2
有h（x0）=2lnx0+1-ax0=0得a=2x0lnx0+x0，将它代入f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2得4x02ln2x0≤4e2
又x0＞1，注意到函数4x2ln2x在（1，+∞）上是增函数故1＜x0≤e
再由a=2x0lnx0+x0，及函数2xlnx+x在（1，+∞）上是增函数，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e-a）2ln3e≤4e2解得3e-
2eln3e≤a≤3e+
2eln3e，
所以得3e-
2eln3e≤a≤3e
综上，a的取值范围为3e-
2eln3e≤a≤3e （I）利用极值点处的导数值为0，求出导函数，将x=e代入等于0，求出a，再将a的值代入检验．
（II）对x∈（0，3e]进行分区间讨论，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e2，解不等式求出a的范围

Answer 2

a

Answer 3

㏑x（x-a）^2 是 ㏑[x(x-a)]^2 还是 [㏑x(x-a)]^2 还是 ㏑[x(x-a)^2] ？