Question

如图，已知等腰Rt△ABC，D为斜边BC的中点，过D作DM⊥DN，分别交AB、AC于M、N.

（1）当M、N分别在线段AB、AC上时，求证：DM=DN；
（2）当M、N分别在线段AB、AC的延长线上时，DM、DN有何数量关系?画出图形，并证明你的结论。

Answer 1

郭敦顒回答：

已知等腰Rt△ABC，D为斜边BC的中点，过D作DM⊥DN，分别交AB、AC于M、N. 

（1）当M、N分别在线段AB、AC上时，求证：DM=DN；

证明：∵∠B=∠BAD=∠CAD=∠ACB=45°，∠ADB=∠NDM=90°

在△AND与△BDM中，AD=BD，∠B=∠BAD，∠AND=∠BDM（同角∠ADM的余角相等）

∴△AND≌△BDM

∴DM=DN

（2）当M、N分别在线段AB、AC的延长线上时，DM、DN有何数量关系?

 

                          M

 

 

 

                 A

 

 

 

 

      B                         C

                 D

 

 

                                            N

DM=DN

仍然成立。

证：∠ADC=∠MDN=90°

在△ADM与△CDN中，AD=CD，

∠DAM=∠DCN=180°－45°=135°，

∠ADM=∠CDN （因同角∠CDM的余角相等）

∴△ADM≌△CDN

∴DM=DN

证毕。

 

Answer 2

1)证明:连接AD.
∵⊿ABC为等腰直角三角形,D为斜边BC的中点.

∴AD=BC/2=CD;∠ADC=90°;∠DAM=∠C=45°.

∵∠ADC=∠MDN=90°.
∴∠ADM=∠CDN.
故⊿DAM≌⊿DCN(ASA),DM=DN.
2)当点M在AB延长线上,N在CA延长线上时:DM=DN.
证明:同理可证,∠DAC=∠DBA=45°,∠DAN=∠DBM=135°;AD=BC/2=BD;∠ADB=90°.
∵∠ADB=∠MDN=90°.
∴∠ADN=∠BDM.故⊿DAM≌⊿DCN(ASA),DM=DN.

当点M在BA延长线上,N在AC延长线上时,同理相似可证得DM=DN.

Answer 3

因为D为BC中点 所以BD＝CD
因为等腰Rt△ABC 所以AB＝ AC AB垂直AC
又因为D为BC中点 Rt△ABC， 所以AD＝1/2BC
所以AD＝ BD＝CD

Answer 4

(1)连结DC
∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点
∴∠ADC=90°，∠ACD=∠CAD=45°
∴AD=CD
∵DM⊥DN
∴∠EDC+∠CDF=90°
∵∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF
∴DE=DF
(2)
S四边形DECF=S△NCD+S△DCF=S△NCD+S△AND=S△ACD=1/2AD×CD=1/2×(1/2AB)²=1/2