Question

如图所示，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF垂直BC于点F.

如图所示，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点，DE⊥AC于点E，DF垂直BC于点F.（1）求证：CE=CF.（2）点C运动到什么位置时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由.

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答：

⑴∵CD为AB的垂直平分线，∴CA=CB，AD=BD，∴∠A=∠B，
∵∠AED=∠BFD=90°，∴ΔADE≌ΔBDF，
∴AE=BF，∴CA-AE=CB-BF，即CE=CF。
⑵当CD=AD时，四边形CEDF是正方形。
∴AD=CD=BD，CD⊥AB，∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ACB=90°，又∠CED=∠CFD=90°，
∴四边形CEDF是矩形，又CE=CF，
∴四边形CEDF是正方形。

Answer 2

（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．
又∵AC=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵CD=CD，
∴△DEC≌△DFC．（AAS）
∴CE=CF．
（2）解：当CD=1/ 2 AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=1/ 2 AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形．
望采纳，谢谢

Answer 3

（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC=CB．又∵AC=CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°
∵CD=CD，
∴△DEC≌△DFC﹙AAS）．
∴CE=CF．
（2）解：当CD=AB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵CD=AB，
∴CD=BD=AD，
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∵CE=CF，
∴四边形ECFD是正方形

Answer 4

(1)∵CD是AB的中垂线∴AC⊥AB∴CD平分角ACB∴DE=DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)