Question

利用定积分的定义计算下列定积分

，（这是同济版高数第五版第五章总习题的第三题）

课本答案说：由定积分的定义 ，
， △Xi=(b-a)i/n,便可以得到a=0,b=1,进一步得到答案为：

为什么哪？我怎么得不到那？我算的是a=1,b=2,请问a=0,b=1是怎么算出来的？
我的想法是这样的：
根据已知：积分区间被n等分， △Xi=(b-a)/n=1/n,知：b-a=1；
又由Xi-1=a+(b-a)(i-1)/n=a+(i-1)/n; Xi=a+(b-a)i/n=a+i/n;我便得出a=1,b=2.进一步得到
,我错在了哪里？

:

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Answer 1

写成a=1，b=2也没错，但是此时函数f(x)=根号(x)，而不是根号(1+x)。你再好好看看。

追问

为什么当a=1,b=2时不是根号下(1+x)哪？其实我就是这地方最模糊了，我想的是：ζi∈[xi-1，xi〕，因此可以取这个区间上的任何值，当ζi取右端点时，不就是ζi=a+i/n了吗，然后我又拿他和题目已知条件的“根号下1+i/n”对比得到a=1,推出了下图这样的答案

，我不知道我错在哪里？请问按照我的得出的a=1,=2后又怎么得出的根号下x哪？你能帮我说一下吗？麻烦你了！！！另外如果按照答案a=0,b=1的话，ζi取的区间上哪个位置哪？

追答

RIemann和中：求和(i=1到n)f(ci)dxi，现在都是均分，dxi=(b--a)/n。你取了a=1，b=2，
那么dxi=1/n，所以Riemann和是这种形式：
求和(i=1到n)f(ci)/n，对比知道f(ci)=根号(1+i/n)。
到这一步注意了：按照你的区间，xi=a+i(b--a)/n=1+i/n，
而ci要介于【x(i--1)，xi】之间，对比知道ci=xi。
也就是f(ci)=根号(ci)，而不是f(ci)=根号(1+ci)。
因此只能是f(x)=根号(x)。或者这样说明：
若f(x)=根号(1+x)，则f(ci)=根号(1+ci)，此时
1+ci>1+x(i--1)=1+1+(i--1)/n，
因此f(ci)=根号(1+ci)>根号(2+(i--1)/n)，不是
题目的形式了。
如果是按照答案来的话，a=0，b=1，
ci=1+i/n，将【0,1】均分为n份，介点ci都取每个子区间
的右端点，f(x)=根号(1+xi)。