Question

f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx+c的两个极值分别为f(x1)f(x2)若x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2),则(b-2)/(a-1)的范围

答案是(1/4,1),求过程，谢谢，在线等

Answer 1

α,β是三次函数f(x)= 1/3x^3+1/2ax^2+2bx 的两个极值点，那么：
α,β是方程f‘(x)=x^2+ax+2b=0的两个根；
由α∈(0,1)β∈(1,2）作出f’(x)的图像，根据图像，α∈(0,1)β∈(1,2）等价于：f'(0)>0,f'(1)<0,f'(2)>0
即2b>0,1+a+2b<0,2+a+b>0
根据以上不等式条件作线性规划，符合这三个不等式的区域是第二象限的一个小三角形ABC；
设k=(b-2)/(a-1)，则k为过点(1,2)的直线的斜率。由图可知k的上下限分别为k(AD)，k(CD)
分别求出k(AD)，k(CD)即可
k∈(1/4,1)

Answer 2

解 f"(x)=x^2+ax+2b
两个极值分别为f(x1)f(x2)
则 x1,x2是0=x^2+ax+2b的两根
x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2),
所以x=1时x^2+ax+2b<0
所1+a+2b<0
画线性规划图知1+a+2b<0表示直线的下方所有点
(b-2)/(a-1)表示上面区域内的点与点（1，2）连线的斜率的范围

所以(b-2)/(a-1)的范围为(-∞,-1/2)∪(-1/2,+∞)

Answer 3

f'=x^2+ax+2b有两个根x1,x2,
两根之和-a,1<-a<3
两根之积2b,0<2b<2
综上，-4<a-1<-2,-2<b-2<-1
也即：2<1-a<4,1<2-b<2
所以1/4<(2-b)/(1-a)<1