Question

计算∫∫∫xyzdxdydz，其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域

积分号下面有个∏
能不能告诉我 积分限怎么确定的

Answer 1

计算Ω∫∫∫xyzdxdydz，其中 Ω：x²+y²+z²=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域
解：积分域Ω是一个球心在原点，半径为1的球在第一挂限内的部分，用球坐标计算比较方便。
(0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1).
Ω∫∫∫xyzdxdydz=Ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=Ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ=[0，1]∫(r^5)dr[0，π/2]∫sin³φd(sinφ)[0，π/2]∫sinθd(sinθ)
={[(r^6)/6]︱[0，1]}{[(1/4)sin⁴φ]︱[0，π/2]}{[(1/2)sin²θ]︱[0，π/2]}
=(1/6)(1/4)(1/2)=1/48

Answer 2

首先做出图形，即第一卦限中的四分之一球。 若采用球面坐标，r是原点到积分边界的范围，r的最大值由边界曲面确定（将x.y.z的参数形式带入解析式，可得r=λ〈λ为常数或θ与φ的函数〉，即最大值。） φ是积分区域边界曲面上向径与Z轴正向的夹角的范围(可取到0～π)。 把积分区域向xoy平面做投影，Θ是所得平面区域边界曲线上点的向径与X轴正向夹角的取值范围（最大取0～2π）。

Answer 3

采用球面坐标
0≤θ≤∏/2
0≤φ≤∏/2
0≤r≤1