Question

[请教] 分段函数求导的问题

教材上貌似没有专门讲分段函数求导的问题，做题的时候有点晕全书（数三）p52-55，分段函数求导专题里，有好几道题都是在证明了分界点是连续点之后，就直接用求导法则求导了。可是连续不是不一定可导吗，为什么可以直接求导而不是用定义来求呢？再问一个可能火星了的问题：很多题的解释里面都有一句“函数的可导性显然”之类的话，这个“显然”是怎么显然的啊，初等函数在定义区间内连续，是不是大部分初等函数再定义区间内也可导啊？[]

Answer 1

一元函数，连续并不一定可导，看左右导数是否相等，相等则可导，不等则不可导。总之，一个一元函数是否可导先看他是否连续，不连续一定不可导，可导则一定连续。然后判断有无角点，也就是分段函数那个点，算他左右导数，看是否相等，有的可以直接求导，有的则要根据导数定义算（导数定义是通用的）。“函数的可导性显然”可能都是认识的初等函数吧。初等函数在其定义区间不一定可导。

Answer 2

连续的函数是可以求导的，导数是正数，则函数随x的增加而增加，导数是负数，则函数随x的增加而减少。
如果是垂直于x轴的函数，是不可以求导的。