Question

高中数学 有关函数周期性

已知F（X）在R上是奇函数，且满足F（X+4）=1/F（X），当X属于（0，2），F（X）=2X^2,则F(7)=?

这道提看了答案也懂(2008,湖北文),但是我的解法是
首先可以知道周期是4,又因为可以导出F(-X)=-(F+4)然后图象也关于(2,0)对称,这样可以画出图象,知道F(3)=F(1),因为F(3+4)=F(3),所以F(7)=F(1)=2
但是答案是F(7)=F(-1) 也能明白答案的解法 但我感觉自己也对
也不知道那错了 麻烦明白的详细解释一下
谢谢
我弄错了 F(X)=F(X+4)

Answer 1

解析：∵F（X）在R上是奇函数，∴f(0)=0
∵满足F（X）=F（X+4），∴f(x)为最小正周期T=4的周期函数
∵当X属于（0，2），F（X）=2X^2
∴当X属于（-2，0），F（X）=-2X^2
F(7)=F(7-2*4)=F(-1)=-2

你的解法是错误的
函数f(x)为最小正周期T=4的周期函数
由题意知区间[-2,2]是函数的一个周期的区间，下一个周期区间为[2,6],[6,10],…
在你的解答中，“图象也关于(2,0)对称”为什么？这是不可能
函数f(x)的对称中心为(4k,0)(k∈Z)
∴你的解法之所以错，就在于此

追问

为什么对称中心是(4K,0)

追答

函数f(x)的对称中心为(4k,0)(k∈Z)，标准的对称中心是（0，0），因为其定义域为R，即X轴相对于原点两边是无限延伸的，所以....(-4,0),(0,0),(4,0),(8,0),...也可以做它的对称中心，即对称中心为(4k,0)(k∈Z)，这里函数f(x)的图像有点类似于tanx.

Answer 2

F（X+4）=1/F（X），即F（X）=1/F（X-4），且F（X-4）=1/F（X-8）
可得F（X）=F（X-8）
何解周期为4？

看了楼主修改后，我发现问题了：
既然T=4，那么F（3）=F(-1)=-F（1）
楼主是“F(3)=F(1)”这步弄错了
奇偶函数的对称性很容易大意出错，以后多加小心就好了

Answer 3

周期是4

错了
T=4应该是F(x+4)=F(x)，而不是1/F(x)
所以这里T=8