Question

∫ 0到正无穷 e^(-x^2) dx等于多少啊？？要具体过程！！！！

是从0到正无穷 不是从负无穷到正无穷

Answer 1

使用伽玛函数和余元公式比较方便
Γ(x)=∫t^(x-1)/e^t dt 积分限为0到正无穷大
取x=3/2得
Γ(1/2)=∫t^(-1/2) * e^(-t)dt = ∫ 1/x * e^(-x^2) d(x^2)=2∫e^(-x^2)dx

余元公式为
Γ(x)*Γ(1-x)=π / sinπx

所以Γ(1/2) = √π
所以
∫e^(-x^2)dx = Γ(1/2) / 2 = √π / 2

另外一种方法是计算
∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy在[0,R][0,R]上的值，这个计算是先转换成极坐标，然后使用夹逼原理求极限
然后开平方即可。

Answer 2

设所求为A
则A^2 = ∫∫ e^(-x^2-y^2) dxdy
= ∫[0 2pi] dt ∫[0 ∞] t e^-t^2 dt
= pi
所以 A = √pi

追问

是从0到正无穷 不是从负无穷到正无穷

追答

那把[ 0 2pi]改成[0 pi/2]方法都一样

追问

方法一样 结果呢？