Question

若limXn=a,证limIXnI=IaI。并举反例说明反之不一定成立。【lim下有n—∞】

Answer 1

若limXn=a则对于任意的正数s>0,存在自然数p,对于任意的n,m>p,|Xn-a|<s.
|Xn-Xm|<s
取任意的m,n>p
||Xn|-|a||=||Xn|-|Xm|+|Xm|-|a||<=||Xn|-|Xm||+||Xm|-a|<2s
证毕
举例：Xn=arctg n(n是奇数），Xn=arctn (-n)(n是偶数）
|Xn|=arctg n
lim |Xn|=pi/2
而当为奇数的N趋于无穷大时，XN趋于PI/2
当为偶数的N趋于无穷大时，XN趋于-PI/2

Answer 2

由条件一定有|xn -a|<t 任意t>0 有三角不等式||xn|-|a||<= |xn -a|<t 故一定存在上式lim|Xn|=|a|
1 -1 1 -1 1 -1 lim|xn| = 1 limxn 极限不存在

Answer 3

反例：Xn=(-1)^n