Question

已知a>0,b>0，求证(a/根号b)+(b/根号a)大于等于（根号a）+（根号b)

Answer 1

左边平方，等于
a^2/b+b^2/a+2根号ab
右边平方后是a+b+2根号ab
这样只须证
a^2/b+b^2/a>=a+b
把右边的移过来，是
(a^2-b^2)/b+(b^2-a^2)/a
(a^2-b^2)(1/b-1/a)=(a^2-b^2)(a-b)/ab=(a-b)^2(a+b)/ab
因为(a-b)^2>=0,(a+b)>0,ab>0
所以左>=右，以上步步得证

因此左大于等于右，当a=b时取等号

Answer 2

左边平方，等于
a^2/b+b^2/a+2根号ab
右边平方后是a+b+2根号ab
这样只须证
a^2/b+b^2/a>=a+b
把右边的移过来，是
(a^2-b^2)/b+(b^2-a^2)/a
(a^2-b^2)(1/b-1/a)=(a^2-b^2)(a-b)/ab=(a-b)^2(a+b)/ab
因为(a-b)^2>=0,(a+b)>0,ab>0
所以左>=右，以上步步得证

Answer 3

分情况讨论。当a=b时，通分就可证。另两种情况用反证法即可