Question

高一数学求问：设函数f(x)的定义域为（0，+无穷），对任意的x>0,y>0,都有f(x/y)=f(x)-f(y)恒成立

设函数f(x)的定义域为（0，+无穷），对任意的x>0,y>0,都有f(x/y)=f(x)-f(y)恒成立。且当x>1时，f(x)>0。
1）求f(1)的值
2）探究f(x)在（0，+无穷）上是否具有单调性
3)你能找到符合本题条件的一个函数吗？请将你找到的函数写出来

Answer 1

（1）令x=y>0,代入式子，得f(x/x)=f(x)-f(x),所以得f(1)=0
（2）
有
证明：设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)因为x1>x2>0，所以x1/x2>1,所以
f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0,所以f(x)在定义域内是单调递增函数。
(3)y=log a X
logaX-logaY=loga(X/Y)
a>1

Answer 2

1 x=1 y=1代入得到f（1）=0
2 单调递增，因为当x>1时，f(x)>0。设y大于x大于0，那么f（y）-f（x）=f（y/x)大于0，所以递增
3 y=lnx就是满足条件的函数
望及时采纳谢谢！

追问

谢谢，但你的没4L详细。。能请你回答一下我另外一个问题吗http://zhidao.baidu.com/question/452645403.html?quesup2

Answer 3

(1)f(1)=0
(2)单调递增
(3)对数函数,且底数大于1

Answer 4

1.因为x>0,y>0时f(x/y)=f(x)-f(y),令x=y=1,则f(1)=0。
2.设任意的x1>x2>0,则x1/x2>1,所以f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0,所以f(x)在区间上单调递增。
3f(x)=lgx

追问

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Answer 5

f(1)=f(x/x)=f(x)-f(x)=0;