Question

求微分方程满足已给初始条件的特解：y" －3y'＋2y＝5,y｜x=0＝1,y'｜x=0＝2

我知道先求通解，通解我会求，但是后面的y*我不会求，类似的方程最后 f(x)=常数 的我都不会求，想要解题思路步骤，详细些，谢谢了
为什么y*不设y*=ax+b之类的 只设b呢 也就是特解怎么求的为什么那么求 观察法是怎么观察出来的

Answer 1

y"-3y'+2y=5 (1)
y(0)=1
y'(0)=2
解：
1）先解(1)的特解：y*=2.5 (观察法得到，代入(1)方程成立)
2）再解：齐次方程：
y"-3y'+2y=0 （2）
的通解：为此先（2）的特征方程：s^2-3s+2=0 s1=1 s2=2
(2)的通解：y=Ae^(x)+Be^(2x)
3) 非齐方程(1)的通解：
y(x) = Ae^(x)+Be^(2x) + 2.5
4) 由初始条件确定A,B:
y(0)=1 : A+B+2.5=1
y'(0)=2:
A=1/3 B=7/6
最后：y(x)=(1/3)e^(x)+(7/6)e^(2x) + 2.5

追问

怎么观察的

追答

您把：y=2.5 代入(1)
y''=y'=0
2y=2*2.5=5
恰好等于（1）的右端：5
因此：y=2.5 是（1）的特解。

Answer 2

分为齐次解和特解
齐次解：y''-3y'+2y = 0
特征方程：r^2 - 3r + 2 = 0
r= 1 或 2
齐次解：y = c1*e^x + c2*e^(2x)

特解：y* = c3
代入原方程得：0-0+2c3=5
c3=5/2

所以原方程的通解是y＝c1*e^x + c2*e^(2x)+5/2
y(0）=1,即c1+c2+5/2=1
y'=c1*e^x+2*c2*e^(2x)
y'（0）=2,即c1+2c2=2
解得c1=-5,c2=7/2
所以原方程的解是y＝-5*e^x + 7/2 *e^(2x)+5/2

追问

怎么知道设y*=c3不设y*=ax+b之类的

追答

因为y" －3y'＋2y＝5是等于5，如果是等于5x，那就设y*=ax