Question

二次型经可逆线性变换和正交线性变换化为标准型有什么区别？

标准型还是特征值组成的吗？

Answer 1

对二次型的矩阵而言,区别为一个是相似，一个正交相似(此时变换也是合同变换)，标准形中的系数都是特征值。

可逆变换可以在很大程度上保留原有的信息；

比如二次型X^TAX，用X=CY可以得到Y^T(C^TAC)Y，研究完C^TAC的性质之后，还可以通过Y=C^{-1}X再变回去分析原问题的性质，如果随意用不可逆变换，那么取C=0就行了，所有标准型都是0，没有任何价值。

扩展资料：

可逆线性变换或满秩线性变换，是一种特殊的线性变换，设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换，若存在V的变换τ，使στ=τσ=I，其中I为单位变换；

则σ称为可逆线性变换，τ称为σ的逆变换，V上的可逆线性变换σ的逆变换仍为V的线性变换，且是惟一的，记为σ-1。线性空间的可逆线性变换的集合，对于变换的乘法构成乘法群，称为非奇异线性变换群。

参考资料来源：百度百科-可逆线性变换

Answer 2

对二次型的矩阵而言,区别为一个是相似, 一个正交相似(此时变换也是合同变换)

标准形中的系数都是特征值

Answer 3

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