Question

一道数学题~！（关于圆和坐标系的初三几何题）高分！有追加！！

⊙C经过坐标原点O，分别与x轴、y轴的正半轴交于B,A两点，点B的坐标为（4倍根号3，0），点M在⊙C上，并且∠BMO=120.
(1)求直线BA的解析式。
(2)若点P是⊙C上的点，过点P做⊙C的切线PN，若∠NPB=30，求点P的坐标。
(3)若点D是⊙C上的点，以点B为圆心，BD为半径作圆，并且BD的长为正整数。
①问这样的圆有几个，与⊙C的位置有什么样的位置关系；
②在这些圆中，是否存在与⊙C相交的弧（指⊙B上的一条弧）是90度的弧，若存在，给出证明，若不存在，请说明理由。

Answer 1

本题未说明点M在上半圆还是下半圆，这是两种不同的情况，应分别讨论。为了方便，以点M在上半圆来处理。
(1)如图（1），∵点M在上半圆，∠BMO=120°,
∴孤OMB所对的圆心角∠OCB=120°.
作CE⊥OB,则Rt△CEB的内角∠ECB=60°,
EB=1/2OB=2√3.于是CE=EB/tan60°
=(2√3)/√3=2,CB=4.即圆的半径为4.
因此圆心C的坐标为(2√3,-2).
圆的方程为（x-2√3）²+(y+2) ²=16.
令x=0,解得y=0,-4.于是A(0,-4).因此直线BA的斜
率为4/4√3=√3/3.所以直线BA的解析式为：
y=√3/3*x-4.
同时，由于点A,B,C的坐标成比例，所以AB是圆的直径。
（2）由圆的性质可知，过N点的圆的切线有两条，即满足条件的切点有P.P’两个点。
作出圆的半径CP,CP’,则△CPN和△CP’N均为直角三角形。
∵弦切角∠NPB=∠NP’B=30°.
∴∠NCP=∠NCP’=60°.
在Rt△OPB中，∠POB=30°,∠OPB=90°,
∴BP=1/2OP=4.
∴P(4√3,-4).
作P’F⊥OB于F.在Rt△P’FB中，P’B=PB=4,
∴∠PBF=∠PBA-∠ABO=60°-30°=30°.
P’F=1/2PB=1/2*4=2.FB=√3/2*PB=√3,
OF=OB-FB=4√3-√3=√3/3.
∴P(√3/3,2).
(3)这个问题就是说，满足弦BD的长是正整数的点D有几个？我们这样来处理：
①作CG⊥BD于G.在Rt△CGD中，
1/2BD=DG=CD*cosCDG=4cosCDG,
BD=8cosCDG.欲使BD为正整数，
只须cosCDG取1/8，1/4，3/8，1/2，5/8，3/4，7/8，1.此时BD=1,2,3，4，5，6，7，8.所以，这样的圆有8个。这些圆的圆心都在⊙C的直径AB上。
②在以B为圆心的圆中，和⊙C的相交弦DH恰为⊙C的直径时，圆被截得的孤是90°.但此时，ADBH是正方形。DH=8,BD=8*cos45°=4√2，不是正整数，不是上述所讨论的圆。所以，上述的⊙B中，不存在被⊙C所截得的孤是90°的情形。
http://hi.baidu.com/zhyzydw740120/album/item/8966173df32ff9e13c6d9701.html

Answer 2

一楼的真强。。。

Answer 3

真强

Answer 4

问提里面怎么没有关于M的?