已知定义在r上的函数f(x)满足条件f(x+2)=-f(x)且f(-x-1)=-f(x-1)求f(x)是奇函数还是偶函数?
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解
f(-x-1)=-f(x-1)
令t=-x-1.则x-1=-t-2.
∴f(t)=-f(-t-2)
∴f(-t-2)=-f(t)
即恒有：f[-(x+2)]=-f(x). (此时，仅仅换了自变量而已。）
又由题设：f(x+2)=-f(x)
∴恒有：f(x+2)=f[-(x+2)]
即恒有：f(x)=f(-x). (令x+2为x)
∴该函数为偶函数。
f(-x-1)=-f(x-1)
令t=-x-1.则x-1=-t-2.
∴f(t)=-f(-t-2)
∴f(-t-2)=-f(t)
即恒有：f[-(x+2)]=-f(x). (此时，仅仅换了自变量而已。）
又由题设：f(x+2)=-f(x)
∴恒有：f(x+2)=f[-(x+2)]
即恒有：f(x)=f(-x). (令x+2为x)
∴该函数为偶函数。
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因为f(x+2)=-f(x) 所以 f(x+1)=-f(x-1) 双因为f(-x-1)=-f(x-1) 所以 f(x+1)=f(-x-1)=f（-（x+1））
f(x)是偶函数
f(x)是偶函数
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奇函数 令x=x+2代入第二个式子可得f(-x-1)= - f(x+1) 再把x-1代入这个式子就得到了
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