Question

高一数学证明题

已知f(x)=lg(1-x)/(1+x) a.b∈（-1.1） 求证f(a)+f(b)=f((a+b)/1+ab)

Answer 1

 

详细证明过程如下：

 

 

追问

a和b的取值怎么没用勒？

追答

a,b的取值是用来表示函数是有意义的，即f(a)，f(b)，f[(a+b)/(1+ab)]有意义 。

Answer 2

,b∈(-1,1)满足
f(a)，f(b)，f[(a+b)/(1+ab)]有意义
因为f(x)=lg(1-x)/(1+x)
所以f(a)=lg(1-a)/(1+a)
f(b)=lg(1-b)/(1+b)
f[(a+b)/(1+ab)]=lg[1-(a+b)/(1+ab)]/1+(a+b)/(1+ab)

f(a)+f(b)=lg(1-a)/(1+a)+lg(1-b)/(1+b)
=lg[(1-a)/(1+a)(1-b)/(1+b)]
=lg(1-a-b-ab)(1+a+b+ab)
f[(a+b)/(1+ab)]
=lg{[1-(a+b)/(1+ab)]/[1+(a+b)/(1+ab)]}
=lg[(1-ab-a-b)/(1+ab)]/[(1+a+b+ab)/(1+ab)}
=lg(1-a-b-ab)(1+a+b+ab)=f(a)+f(b)
即f(a)+f(b)=f[(a+b)/(1+ab)]

Answer 3

f(a)+f(b)=lg((1-a)(1-b)/(1+a)(1+b))
f(a+b/1+ab)=lg((1-(a+b)/(1+ab))/1+(a+b)/(1+ab))) =lg(1-a-b+ab)/(1+a+b+ab) (分子分母同时乘1+ab
那么ab-a+1-b=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)=(1-a)(1-b)
1+a+b+ab=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)
所以lg(1-a-b+ab)/(1+a+b+ab)=lg((1-a)(1-b)/(1+a)(1+b))
所以f(a)+f(b)=f(a+b/1+ab)

Answer 4

f(a)+f(b)=lg(1-a)/(1+a) + lg(1-b)/(1+b)
=lg(1-a-b+ab)/(1+a+b+ab)
=lg((1+ab)-(a+b)) / ((1+ab)+(a+b))
分子分母同除（1+ab)
=lg(1-(a+b)/(1+ab))/(1+(a+b)/(1+ab))
=f((a+b)/(1+ab))

Answer 5

证明：倒置法
f(x)=lg[(1-x)/(1+x)]=lg[2/(1+x)-1]，
f[(a+b)/(ab+1)]
=lg[2(1+ab)/(1+ab+a+b)-1]
=lg[(1-a)(1-b)/{(1+a)(1+b)}]
=lg[(1-a)/(1+a)]+lg[(1-b)/(1+b)]
=f(a)+f(b)
也就是，f(a)+f(b)=f((a+b)/1+ab)