Question

已知函数f(x)=(-x^2+ax-1)e^x在区间上(-1,1)单调递增,求a的取值范围?

Answer 1

一般用导数法解决
f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x²+ax-1)e^x
=[-x²+(x+1)a-2x-1]e^x
在区间上(-1,1)单调递增
即f'(x)≥0在区间上(-1,1)恒成立
由于e^x>0 故有-x²+(x+1)a-2x-1≥0在区间上(-1,1)恒成立
即(x+1)a≥x²+2x+1
由于x+1>0故有a≥(x²+2x+1)/(x+1)=x+1在区间上(-1,1)恒成立
因为0<x+1<2
所以a≥2

Answer 2

用导数法解决
f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x²+ax-1)e^x
=[-x²+(x+1)a-2x-1]e^x
在区间上(-1,1)单调递增
即f'(x)≥0在区间上(-1,1)恒成立
由于e^x>0 故有-x²+(x+1)a-2x-1≥0在区间上(-1,1)恒成立
做移项处理
有(x+1)a≥x²+2x+1=(x+1)²
由于-1<x<1有x+1>0
故有a≥x+1在区间上(-1,1)恒成立
因为0<x+1<2
所以a≥2