Question

求函数y=(x的四次方+x的平方+5)/(x的平方+1)的平方的值域

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Answer 1

令x的平方为t，即求y=(t的平方+t+5)/(t+1)的值域
其中t大于等于0
y=（t+1)的平方-（t+1）+5/(t+1)=(t+1)+5/(t+1)-1
因为t大于等于0所以t+1大于等于1
然后用基本不等式
y等号当且仅当t=（根下5）-1时成立
所以值域是y≥（2倍根下5）-1

Answer 2

令t=x的平方（t>=0). y=t2+t+5/t+1
提 t 出来得y=t+（5/t+1）
再同时加1减1得 y=t+1+（5/t+1）-1
因为t大于等于0
所以t+1 / 5/t+1大于等于二倍根号5 。
所以最后结果为二倍根号5 -1到正无穷

Answer 3

展开后分离
y=(x^4+x^2+5)/(x^4+x^2+1)=1+4/(x^4+x^2+1)
换元
令t=x^2则y=1+4/(t^2+t+1)(t∈R)
则值域：（0,19/3】

追问

我做到了您说的最后一步，可换元以后咋做啊？

追答

换元之后的新函数
y=1+4/(t^2+t+1)(t∈R)
其中t^2+t+1是二次函数类型，配方后得（t+1/2）^2+3/4
所以f(t)=t^2+t+1的值域是【3/4，+∞）
因为是正数所以倒一下得1/（t^2+t+1）∈（0,4/3）
再乘4加1，即为原函数值域（0，19/3】

Answer 4

[21-4根号5，正无穷）用基本不等式