Question

“函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分必要条件是”

显然 a不为0.
f '(x)=ax^2+ax-2a=a(x-1)(x+2)
令f '(x)=0得极值点 x1=-2，x2=1
1) a>0。f(x)在（-∞，-2）上增，在（-2，1）上减，在（1，+∞）上增，
所以，只须 ｛f(-2)>0
{f(1)<0
即 -8a/3+2a+4a+2a+1>0且 a/3+a/2-2a+2a+1<0
解得 a>-3/16 且 a<-6/5
结合a>0知，此种情况不成立。
2)a<0。f(x)在（-∞，-2）上减，在（-2，1）上增，在（1，+∞）上减，
所以，只须 ｛f(-2)<0
{ f(1)>0
即 -8a/3+2a+4a+2a+1<0且 a/3+a/2-2a+2a+1>0
解得 -6/5<a<-3/16
综上可得，函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分必要条件是：
-6/5<a<-3/16。 ”
问：（1）怎么引出f '(x)=ax^2+ax-2a这个函数的呢?为什么要引出它?一定要详细,我会追问。
（2）为什么f '(x)会影响到f(x)?两者有什么关系?可以通过代数式相互转化吗?也要详细。
非常感谢!!完全明了。顺便问一下,导数是高几学的啊,我是刚读完高一,老师貌似没讲啊

Answer 1

（1）导数f'(x)你学过吗 是用来判断函数单调性的
(2)在某一范围内 f'(x)大于0则f(x)递增
f'(x)小于0则f(x)递减
可以通过代数式相互转化

常用导数公式
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=﹙logae﹚/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=－sinx
这里的y'相当于f‘(x) y相当于f(x)
公式补充7：y:ax y'=a

语言表达不大好见谅啊
f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1中
把加号之间的各项看做独立的部分
（看上面公式2、7） 1/3ax^3会变成ax^2
同样的 1/2ax^2会变成ax
-2ax会变成-2a
而根据公式1，常数项2a+1的导数为0
而加号之间的各项只需要再加起来就好了
所以整个函数的导数为f '(x)=ax^2+ax-2a
导数的的意义就是判断函数的单调性
导数你只需要关注它的正负 （联系上文）
就能判断出函数的大致走向
另外的解题时需要具体数字 导数只要零点就好了

有事儿再问