Question

已知在三角形ABC中角B=60三角形ABC角平分线AD,CE相交于点O求OE=OD

Answer 1

证明：连接OB，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N
∵∠ABC＝60
∴∠BAC+∠ACB＝180-∠ABC＝120
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB
∴∠OAC＝∠BAC/2, ∠OCA＝∠ACB/2
∴∠AOC＝180-（∠OAC+∠OCA）＝180-（∠BAC+∠ACB）/2＝120
∴∠DOE＝∠AOC＝120
∴∠ABC+∠DOE＝180
∵∠ODB+∠OEB+∠ABC+∠DOE＝180
∴∠ODB+∠OEB＝180
∵∠OEB+∠OEA＝180
∴∠OEA＝∠ODB
又∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB
∴O是△ABC角平分线交点
∴OB平分∠ABC
∵OM⊥AB，ON⊥BC
∴OM＝ON，∠OME＝∠OND＝90
∴△OME≌△OND （AAS）
∴OE＝OD

或
证明：连接OB，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N
∵∠ABC＝60
∴∠BAC+∠ACB＝180-∠ABC＝120
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB
∴∠OAC＝∠BAC/2, ∠OCA＝∠ACB/2
∴∠AOC＝180-（∠OAC+∠OCA）＝180-（∠BAC+∠ACB）/2＝120
∴∠DOE＝∠AOC＝120
∴∠ABC+∠DOE＝180
∴O、D、B、E四点共圆
∴∠OEA＝∠ODB
又∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB
∴O是△ABC角平分线交点
∴OB平分∠ABC
∵OM⊥AB，ON⊥BC
∴OM＝ON，∠OME＝∠OND＝90
∴△OME≌△OND （AAS）
∴OE＝OD

Answer 2

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