Question

数学难题！！

设二次函数y=x^2+2(cos a+1)x-sin a^2(0<a<=90) 的图像与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,并且|x1-x2|<=2根号2 则 a的取值范围
1、设二次函数y=x^2+2(cos a+1)x-sin a^2(0<a<=90) 的图像与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,并且|x1-x2|<=2根号2 则 a的取值范围
2、已知二次函数f(x)=ax^2-(a^2+a-1)x+a(a-1) (a为非零常数) 并且至少存在一个整数x0，使得f(x0)=0 则a=？

Answer 1

1.解析：根据根与系数的关系，建立cosa与两根的和与积的关系，再将|x1-x2|≤2√2两边平方，得到关于两根积与两根和的关系式，再将cosa与两根的和与积的关系式代入求解．

 

解：∵x1+x2=-2（cos a+1），x1x2=cos a，

    又∵|x1-x2|≤2√2 ，

        ∴（x1+x2)^2-4 x1 x2≤8，
        ∴4（cosa+1）^2-4cos2a≤8，cosa≤1/2 ，
     又∵△=4（cosa+1)^2-4cos^2a＞0，
         ∴4（2cosa+1）＞0（0°＜a≤90°）总成立．
         ∴cosa≤1/2 ，
        故答案为：60°≤a≤90°．

 

 

2.解析：运用因式分解法对ax^2-（a^2+a-1）x+a（a+1）进行因式分解，再根据至少存在一个整数x，使f（x0）=0进行分析解答．

 

Answer 2

1、设二次函数y=x²+2(cosα+1)x-sin² α(0°<α≦90°) 的图像与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，并且|x₁-x₂|≦2√2 ，则 α=？(α的范围已经给定了，怎么还要求它的取值范围?)
解：由于x₁，x₂是方程x²+2(cosα+1)x-sin² α=0的根，故：
x₁+x₂=-2(cosα+1)；x₁x₂=-sin²α；
|x₁-x₂|²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=4(cosα+1)²+4sin²α=8(1+cosα)≦8，故得1+cosα≦1
于是得cosα≦0，由于0°<α≦90°，∴α=90°。
2、已知二次函数f(x)=ax²-(a²+a-1)x+a(a-1) (a为非零常数) 并且至少存在一个整数x0，使得
f(x0)=0 则a=？
解：由题意可知：ax²-(a²+a-1)x+a(a-1)=0至少有一个整数根xo，那么其必要条件是其判别式
Δ=(a²+a-1)²-4a²(a-1)=a⁴+2a²(a-1)+(a-1)²-4a²(a-1)=a⁴-2a²(a-1)+(a-1)²=[a²-(a-1)]²
=(a²-a+1)²≧0，此不等式对任何实数a都成立。
故方程的解x₁=[(a²+a-1)+√Δ]/2a=[(a²+a-1)+(a²-a+1)]/2a=2a²/2a=a
x₂=[(a²+a-1)-√Δ]/2a=[(a²+a-1)-(a²-a+1)]/2a=(2a-2)/2a=(a-1)/a
由此可见，只要a是一个非零的整数，就一定至少有一个根是整数，而且这个根就是a本身。
比如取a=1，则f(x)=x²-x=x(x-1)=0，就有x₁=0和x₂=1两个整数根。
再取x=3，则f(x)=3x²-11x+6=(3x-2)(x-3)=0，得x₁=3，x₂=2/3，有一个整数根3。

Answer 3

解：∵x1+x2=-2（cos a+1），x1x2=cos a，
又∵|x1-x2|≤2√2 ，

∴（x1+x2)^2-4 x1 x2≤8，
∴4（cosa+1）^2-4cos2a≤8，cosa≤1/2 ，
又∵△=4（cosa+1)^2-4cos^2a＞0，
∴4（2cosa+1）＞0（0°＜a≤90°）总成立．
∴cosa≤1/2 ，
故答案为：60°≤a≤90°

Answer 4

是sin(a^2)还是(sina)^2?

追问

sin (a^2)

追答

度数在三角函数里面是不能平方的...