Question

已知各项全不为零的数列｛An｝的前n项和为Sn，且Sn=An*An+1，A1=1

（1）求数列{An}的通项公式
（2）求数列｛An+An+1｝的前2n项和Tn

Answer 1

解：
(1)
S1=a1=a1a2，a1=1代入，a2=1
n≥2时，
Sn=ana(n+1) S(n-1)=a(n-1)an
Sn-S(n-1)=ana(n+1)-a(n-1)an
an=ana(n+1)-ana(n-1)
数列各项均为为0，等式两边同除以an
a(n+1)-a(n-1)=1，为定值。
数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列；偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列。
即数列为1，1，2，2，3，3，……
数列的通项公式为
an=(n+1)/2 n为奇数
n/2 n为偶数
整理成统一的通项公式：an=[2n+1-(-1)ⁿ]/4
(2)
[a(n+1)+an]-[an+a(n-1)]=a(n+1)-a(n-1)=1，为定值。
a1+a2=1+1=2
数列{an+a(n+1)}是以2为首项，1为公差的等差数列。
Tn=(2n)×2+(2n)(2n-1)/2=2n²+3n

Answer 2

1.s(n+1)-s(n)=a(n)=a(n)(a(n+1)-a(n-1))
a(n+1)-a(n-1)=1
a(n)-a(n-2)=1
...
a(3)-a(1)=1
2(a(n)-a(1))=n-1
a(n)=(n+1)/2,当 n=1时也成立。
2.a(n)+a(n+1)=n+3/2
a(1)+a(2)=1+3/2
...
a(n-1)+a(2n)=(n-1)+3/2
T(n)=(1+2+...+(n-1))+3(n-1)/2=(n-1)(n+3/2)/2

Answer 3

Sn-1=An-1*An-1+1
相减
An=An^2-An-1^2