Question

初二证明题

18、以DABC的三边AB、BC、CA分别
为边，在BC的同侧作等边三角形ABD、
BCE、CAF，求证：ADEF是平行四边形。

Answer 1

∵∠1+∠3=∠2+∠3=60度

∴∠1=∠2

又∵BC=BE，BA=BD

∴ΔCBA≌ΔEBD

∴AC=DE

又∵AF=AC

∴AF=DE

同理AD=EF

∴四边形ADEF是平行四边形

Answer 2

证明：△ABD为等边三角形，所以DB=AB，∠DBA=60
△EBC为等边三角形，所以EB=CB，∠EBC=60
∠DBE=∠DBA-∠EBA，∠ABC=∠EBC-∠EBA
所以∠DBE=∠ABC
在△DBE和△ABC中，
DB=AB，
∠DBE=∠ABC
EB=CB
所以△DBE≌△ABC，DE=AC
同理，∠ECF=∠ACF-∠ACE，∠ACB=∠BCE-∠ACE
所以∠ECF=∠ACB
在△FCE和△ACB中
FC=AC
∠ECF=∠ACB
EC=BC
所以△ECF≌△ACB，EF=AB
因为AB=AD，AC=AF
所以AD=EF，AF=DE
因此四边形ADEF两组对边分别相等，为平行四边形

Answer 3

易证：⊿BDE≌ABC,⊿ECF≌⊿ABC
∴⊿BDE≌⊿ECF
然后用“两对边分别相等的四边形是平行四边形”可证。

Answer 4

∵△ABD,△BCE为等边三角形
∴∠ABD=∠CBE=60°
∴∠DBE=∠ABC
∵BA=BD， BC=BE
∴△ABC≌△DBE（SAS)
∴DE=AC=AF
∴DE=AF

同理可证EF=AD (△ABC≌△FEC）
∴ADEF是平行四边形

Answer 5

易证△ABC≌△DBE≌△FEC
所以AC=DE
因为AC=AE
所以DE=AE
因为DB=DA=EF
所以ADEF是平行四边形。