Question

如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE上，且AF=CE=AE。

（1）说明四边形ACEF是平行四边形
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？并说明理由。

Answer 1

 

(1)∵DE垂直平分BC

∴DF∥AC

∴∠1=∠2

又∵AF=CE=AE

∴∠F=∠1，∠2=∠3

∴∠F=∠1=∠2=∠3

∴∠5=∠4

∴AF∥CE

∴四边形ACEF是平行四边形

(2)若四边形ACEF是菱形，则AF=EF

有∠F=∠5，

有(1)知∠F=∠1

∴∠F=∠5=∠1

∴∠1=60度

∴∠2=∠1=60度

∴∠B=30度

即当∠B=30度时，四边形ACEF是菱形

 

 

 

Answer 2

(1)证明：因为 AF=CE=AE,
所以 角F=角AEF, 角EAC=角ECA,
因为 DE是BC的垂直贵分线，角ACB=90度，
所以 DE//AC,
所以 角AEF=角EAC, 角F=角ECA,
所以 角FAE=角AEC,
所以 AF//CE,
所以 四边形ACEF是平行四边形。
（2）当角B=30度时，四边形ACEF是菱形。
证明：因为 角B=30度时，角AEF=角BED=60度，
又因为 AF=AE,
所以 三角形AEF是等边三角形，
所以 AF=EF,
所以 四边形ACEF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。

Answer 3

解：（1）∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∴DF∥AC，
又∵EF=AC，
∴四边形EFAC是平行四边形，
∴AF=CE；

（2）当∠B=30° 时四边形EFAC是菱形，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC=12BC，BE=EC，
∴∠B=∠ECD=30°，
∵DF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴BE/BA=BD/BC=1/2，即BE=1/2AB，
∴AE=CE
又∵∠ECA=90°-30°=60°，
∴△AEC是等边三角形
∴CE=AC，
∴四边形EFAC是菱形；

Answer 4

<ACB=90,DE垂直BC,
所以<FDB=<ACB,FD平行AC
即EF平行AC
AF=AE=EC
<ACE=<EAC,<AEF=<AFE
又EF平行AC
所以<AEF=<EAC
也即<EAF=<AEC
所以EC平行FA
又AC平行EF,
所以ACEF为平行四边形

45度