Question

数列an前n项和sn,数列bn中b1=a1,bn=an-a(n-1)(n>=2),若an+sn=n(1)设cn=an-1,求证cn是等比（2）求bn通项

Answer 1

an+Sn=n,a(n-1）+s（n-1)=n-1, 则an-a(n-1)+Sn-s(n-1)=1,即2an=a(n-1)+1, 即2an-2=a(n-1)-1
所以cn=an-1,c(n-1)=a(n-1)-1=2an-2，即cn/c(n-1)=1/2.
故{cn}为等比数列
bn=an-a(n-1)=(n-Sn)-(n-1-s(n-1))=1-(Sn-s(n-1))=1-an=-cn
由a1+s1=1得a1=1/2,所以c1=a1-1=-1/2,故cn=-1/2*(1/2)^(n-1)=-1/2^n所以bn=1/2^n

Answer 2

1、
证：
n=1时，a1+S1=a1+a1=2a1=1
a1=1/2
n≥2时，
an+Sn=n (1)
a(n-1)+S(n-1)=n-1 (2)
(1)-(2)
2an-a(n-1)=1
2an=a(n-1)+1
2an-2=a(n-1)-1
(an -1)/[a(n-1)-1]=1/2，为定值。
a1-1=1/2-1=-1/2
数列{an -1}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
cn=an -1
数列{cn}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
2、
解：
an -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
an=1- 1/2ⁿ
b1=a1=1/2
bn=an -a(n-1)=1-1/2ⁿ-1+1/2^(n-1)=1/2ⁿ
n=1时，b1=1/2，同样满足。
数列{bn}的通项公式为bn=1/2ⁿ。