Question

如图,在梯形ABCD中,DC//AB,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥BD连接EF。

求证：△DEF为 等边三角形

Answer 1

证明：如图，∵在梯形ABCD中,DC//AB,AD=BC
∴该梯形为等腰梯形
∴∠A=∠ABC=60°
在△DCF和△BCF中，
∵DC//AB且BD平分∠ABC
∴∠EBD=∠CDB=60°/2=30°
又∵CF⊥BD，∴∠CFB=∠CFD=90°
∵CF=CF，∴△CDF全等于△CBF（AAS）
∴DF=BF
在△EDA和△BCF中，
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°=∠CFB
∵∠A=60°
∴∠ADE=90°-60°=30°=∠CBF
∵AD=BC
∴，∴△ADE全等于△CBF（AAS）
∴BF=DE=DF
∴△DEF为等腰三角形
∵DC//AB
∴∠A+∠ADC=180°
即∠A+∠ADE+∠EDF+∠FDC=180°
60°+30°+∠EDF+30°=180°
∠EDF=60°
∴△DEF是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

Answer 2

易得∠B=∠A=60
∠DBE=30，∠DBC=30
∠EDB=60
∠BDC=30
又因为∠DBC=30
所以CD=CB.
所以易得F为中点
所以EF=0.5DB=FD=FB
（定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
所以∠FEB=DBE=30
所以∠DEF=60
所以∠DFE=180-∠DEF-∠EDB=60
所以三个角都是60
所以是DEF等边三角形~
希望你满意 ~

你们的采纳是我们回答的动力~谢谢支持哈~
（我晕 那个人抄我的。。这个是我补的，所以时间比他晚了。）

Answer 3

解：（1）∵BD平分∠ADC
∴∠ADB=∠CDB=12∠ADC=30°．…（1分）
∵DC∥AB
∴∠BDC=∠ABD=30°．…（2分）
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD…（3分）
∵AF⊥BD．
∴F为BD中点．∠DAF=∠BAF…（5分）
（2）△BEF为等边三角形．…（6分）
理由如下：
由（1）知F为BD中点
∵BE⊥DC，
∴EF为Rt△BDE斜边BD上的中线…（7分）1
∴DF=BF=EF…（8分）
∵∠BDE=30°．
∴∠DBE=60°…（9分）
∴△BEF为等边三角形…（10分）．