Question

在数列an中，a1=1,an+1=2an+2^n

1.设bn=an/2^n-1.证明：数列bn是等差数列；2.求数列an的前n项和Sn

Answer 1

a(n+1)=2an+2^n

两边同除2^(n+1)得 a(n+1)/2^(n+1)=an/2^n+1/2

∴a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1/2, a1/2=1/2

∴{an/2^n}是首项为1/2,公差为1/2的等差数列,即bn=an/2^n-1,也是等差数列.

∴an/2^n=1/2+(n-1)/2=n/2

∴an=(n/2)×2^n=n×2^(n-1)
Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+....+n*2^(n-1)
2Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n*2^n
Sn-2Sn=-Sn=1*2^0+1*2^1+2^2+...+2^(n-1)-n*2^n=1*(2^n-1)/(2-1)-n*2^n
故Sn=n*2^n-2^n+1

Answer 2

解：(1)∵a(n+1)=2an+2^n
将等式两侧同除2^(n+1)得
a(n+1)/[2^(n+1)]=an/2^n+1/2
用叠加法，an/2^n=1+1/2*(n-1)
∴bn=(n-1)/2
b(n+1)-bn=1/2,b1=0
{bn}是以0为首项，1/2为公差的等差数列
(2)an/2^n=(n+1)/2
an=2^n*(n+1)/2
求和时运用错位相减法
过程不写了，结果Sn=n*2^n

Answer 3

1、
(n+1)=2an+2^n
等式两边同除以2^n
a(n+1)/2^n=an/2^(n-1) +1
a(n+1)/2^n -an/2^(n-1)=1，为定值。
a1/2^(1-1)=1/1=1
数列{an/2^(n-1)}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an/2^(n-1)=1+n-1=n
an=n×2^(n-1)
b1=a1/2^(1+1)=1/4
bn=an/2^(n+1)=n×2^(n-1)/2^(n+1)=n/4
b(n+1)-bn=(n+1)/4-n/4=1/4，为定值。
数列{bn}是以1/4为首项，1/4为公差的等差数列。
2、
an=n×2^(n-1)
Sn=a1+a2+...+an=1×2^0+2×2^1+3×2^2+...+n×2^(n-1)
2Sn=1×2^1+2×2^2+...+(n-1)×2^(n-1)+n×2^n
Sn-2Sn=-Sn=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)-n×2^n=(2^n -1)/(2-1) -n×2^n=(1-n)×2^n -1
Sn=(n-1)×2^n +1

^表示指数，第二问用错位相减法。

Answer 4

1、an+1=2an+2^n
等式两边除以2^n,an+1/2^n=an/2^(n-1)+1
an+1/2^n-an/2^(n-1)=1

所以数列bn是等差数列
2、b1=a1/1=1,bn=b1+(n-1)d=n
an=n*2^(n-1)
Sn=1*2^0+2*2^1+...+n*2^(n-1)
2Sn= 1*2^1+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n
参考楼上

Answer 5

（1）证明：
a(n+1)=2an+2^n
bn=an/2^(n-1)
b(n+1)=a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
b(n+1)-bn
=(2an/2^n+1)-(an/2^(n-1))
=(2an/(2*2^(n-1))+1)-(an/2^(n-1))
=(an/2^(n-1)+1)-(an/2^(n-1))
=an/2^(n-1)+1-an/2^(n-1)
=1
∴{bn}是等差数列
（2）解：
b1=a1/2^(1-1)=1/2^0=1/1=1
bn的公差为1
∴bn=n
∴an=n2^(n-1)
sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+...+n2^(n-1)
2sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+...+n2^n
(2-1)sn
=sn
=-1*2^0-1*2^1-1*2^2-...-1*2^(n-1)+n2^n
=-(2^0+2^1+...+2^(n-1))+n2^n
=-(1-2^n)/(1-2)+n2^n
=1-2^n+n*2^n
=(n-1)2^n+1