Question

如图三角形ABC中D是BC的中点，AD平分角BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证DE＝DF，角B＝角C

Answer 1

证明：因为AD平分角BAC，所以角EAD = 角FAD
因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD = AD
所以三角形ADE 全等于 三角形ADF
即DE= DF
因为D为BC中点，所以BD=CD
所以三角形BDE 全等于 三角形CDF
即 角B＝角C

Answer 2

∵D是BC的中点
∴BD=CD
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
∴ΔBAD≌ΔDAC
∴∠B=∠C

∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD
∴ΔADE≌ΔADF
∴DE=DF

Answer 3

因为D是BC的中点，所以BD=CD，因为AD平方角BAC，所以角1=角2，
在三角形ABD和ACD中，
BD=CD，角1=角2，AD=AD，所以三角形ABD和ACD全等，则角B=角C。
用相同的方法可以证明DE=DF。
这题其实是求证等腰三角形的特性，和求证角平分线上的任意点到角两边的距离（垂直）相等。

Answer 4

证明：因为DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
所以角AED=角AFD=90度
又因为AD平分角BAC
所以角EAD=角FAD
AD是公共边，所以三角形AED全等AFD （角角边定理）所以DE=DF

Answer 5

理由如下：在三角形ABC中，AD平分角BAC ∵ED⊥AB DF⊥AC ∴DE=DF（平分线上的点到角两边的距离相等）
∵BD=CD ∠BED=∠CFD=90°∴在Rt三角形EBD和Rt三角形FCD中：DE=DF BD=CD
∴Rt三角形EBD≡Rt三角形FCD（HL)∴∠B=∠C