Question

数学求值域问题 y=√(x+3)-√(4-x)

Answer 1

先注意此函数自变量的有效区间为： [-3，4]，且在此区间为单调递增的。
故最小值为y(-3)=-√7，最大值为y(4)=√7。故值域为[-√7，√7]。

Answer 2

∵y＝√（3＋x）－√（4－x），　∴需要3＋x≧0、且4－x≧0，　∴－3≦x≦4。
一、当x＝－3时，y＝－√7。
二、当x＝4时，y＝√7。
三、当－3＜x＜4时
　　对y＝√（3＋x）－√（4－x）求导数，得：y′＝1/［2√（3＋x）］＋1/［2√（4－x）］＞0。
　　∴y＝√（3＋x）－√（4－x）在区间［－3，4］上是单调递增的。
　　∴此时有：－√7＜y＜√7。
综上各述，得：－√7≦y≦√7。
∴函数的值域是［－√7，√7］。

追问

　“对y＝√（3＋x）－√（4－x）求导数，得：y′＝1/［2√（3＋x）］＋1/［2√（4－x）］＞0。”可不可以不用导数求呢？我才高一，导数还没学到。

追答

考虑到只用初等方法，处理如下：
∵y＝√（3＋x）－√（4－x），
两边平方，得：
y^2＝3＋x－2√［（3＋x）（4－x）］＋4－x＝7－2√［（3＋x）（4－x）］。
显然有：2√［（3＋x）（4－x）］≧0，　∴y^2≦7，　∴－√7≦y≦√7。
∴函数的值域是［－√7，√7］。

Answer 3

首先根号下的大于等于0求出X的范围，根据X的范围求Y的最大最小值，就是Y的值域了

Answer 4

这个函数单调递增，而X取值在-3到4，所以分别代入-3和4算出的两个Y值就是值域的端点

Answer 5

[-√7 ,√7]