Question

解关于x的不等式ax²-（a+1）x+1

解关于x的不等式ax²-（a+1）x+1＜0 怎么解

Answer 1

思路：对首项系数a分三种情况讨论：a>0,a=0,a<0.
解：原不等式可化为：(ax-1)(x-1)<0
当a=0时，原不等式又可化为：-(x-1)<0,即：x>1;
当a＜0时，原不等式又可化为（两边同时除以a，不等号变号）：
（x-1/a）（x-1）＞0，即：x＞1或x＜1/a；
当a>0时，原不等式又可化为（两边同时除以a，不等号不变号）：
（x-1/a）（x-1）<0，
而当 1/a>1,即0<a<1时，1＜x＜1/a，
当1/a=1,即a=1时，x属于∅，
当1/a<1,即a>1时，1/a＜x＜1,
综上可知： 当a＜0时，原不等式的解集是：{x!x＞1或x＜1/a},
当a=0时，原不等式的解集是：{x!x>1},
当0<a<1时，原不等式的解集是：{x!1＜x＜1/a}，
当a=1时，原不等式的解集是∅，
当a>1时，原不等式的解集是：{x!1/a＜x＜1}。

Answer 2

解：当a=0时，不等式的解为x＞1；
当a≠0时，分解因式a（x-1/a）（x-1）＜0
当a＜0时，原不等式等价于（x-1/a）（x-1）＞0，
不等式的解为x＞1或x＜1/a；
当0＜a＜1时，1＜1/a，不等式的解为1＜x＜1/a；
当a＞1时，1/a＜1，不等式的解为1/a＜x＜1；
当a=1时，不等式的解为∅．

Answer 3

先让ax²-（a+1）x+1=0，用公式法求得X1=1,X2=1/a

再用数形结合思想，将ax²-（a+1）x+1变换为二次函数
①当0<a<1时，抛物线开口向上，X1<X2，所以只有当1<X<1/a，不等式ax²-（a+1）x+1才能小于0
②当a>1时，抛物线开口向上，X1>X2，所以只有当1/a<X<1，不等式ax²-（a+1）x+1才能小于0
③当a<0时，抛物线开口向下，X1>X2，所以只有当X>1或X<1/a，不等式ax²-（a+1）x+1才能小于0
④当a=0时，原不等式即-X+1<0,X>1
所以原不等式的解为1<X<1/a或1/a<X<1或X>1或X<1/a

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